初中几何题选解.140
问题：如图，直线L1、L2相交于点A，点B、点C分别在直
线L1、L2上，AB=KAC，连接BC，D是AC上任意一点，且不与A、C重合，作∠BDE=∠BAC=α，与∠ECF的一边相交于E，且△ABC是等腰三角形∠ECF=∠ABC
（1）如图1，若K=1，α=900时，探究DB与DE关系?
（2）如图2，若K≠1，α≠900时，探究DB与DE关系?
一、关于问题（1）的解题思路：
1、连接BE，如图3所示：
2、 K=1时，AB=AC，△ABC是等腰三角形，
3、 ∠BDE=∠BAC=900时，△ABC是等腰直角三角形，
且∠ECF=∠ABC=∠ACB =450 ，
∴ ∠BCE=900
4、 ∵ ∠BCE=∠BDE=900
∴ B、E、C、D四点共圆
∴ ∠CBE=∠CDE
∠CBD=∠CED
5、在直角三角形△BDE中：
∠DBE=∠CBE+∠CBD
=∠CDE+∠CED
=∠ECF
= 450
∴ ∠BED=450
∴ DB = DE ∥
二、关于问题（2）的解题思路：
1、连接BE，如图4所示：
2、 K≠1时，AB=kAC，△ABC不是等腰三角形，
3、 ∠BDE=∠BAC=α≠900时，△ABC不是直角三角形，
且：∠EDF=∠ABD
4、 ∠BDE = 1800 -∠ADB-∠EDF
= 1800 –(∠ACB +∠CBD)-(∠ECF-∠CED)
= 1800 –∠ACB -∠ECF+∠CED-∠CBD
= ∠BCE +∠CED-∠CBD
= ∠BCE +(∠ECF-∠EDF)-∠CBD
= ∠BCE +(∠ECF-∠ABD)-∠CBD
= ∠BCE +(∠ABC-∠ABD)-∠CBD
= ∠BCE +(∠ABC-∠ABD)-∠CBD
= ∠BCE
5、∵ ∠BCE=∠BDE=α
∴ B、E、C、D四点共圆
∴ ∠DCB=∠BED
6、在△BDE和△ABC中：
∠BAC=∠BDE=α
∠ACB=∠DCB=∠BED
∴△BDE∽△ABC
AB=kAC
∴ DB=kDE
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