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初中代数题选解.76

问题：已知关于x的方程x² + 2px –q = 0 和x² –2qx +p = 0都没有实数根（p、q是实数）

(1)  问式子 q/p+p/q是否总有意义。

(2)  问p+q是否可以是整数，

若可以，当p+q为整数时，求：

(p+pq)/q + (q+pq)/p =?

若p+q不可以为整数，说明理由。

一、关于（1）的解题思路：

p≠0

否则x² + 2px –q = 0 和x² –qx +p = 0变为

x² –q = 0 和x² –qx = 0

        这两个方程都有实数解，与已知条件矛盾。

同理：q≠0

∴  q/p+p/q总是有意义

二、关于（2）的解题思路：

1、由于x² + 2px –q = 0      (1)

和 x² –2qx +p = 0       (2)

都没有实数根，

所以，(1) –(2)所得的方程也没有实数根。

即 (x² + 2px –q) –(x² –2qx +p)=0 没有实数根。

亦：  (2p+2q)x –q –p=0 没有实数根

2(p+q)x –(q+p)=0 没有实数根

(p+q)(2x–1)=0 没有实数根

2x–1 ≠ 0

∴ p+q=0

∴ p+q可以是整数0

2、当p+q为整数0时，q=– p

   此时：

(p+pq)/q + (q+pq)/p

=(p–pp)/( –p) + (–p–pp)/p

=p–1+(–1–p)

=2