初中代数题选解.76
问题：已知关于x的方程x2 + 2px –q = 0 和x2 –2qx +p = 0都没有实数根（p、q是实数）
(1) 问式子 q/p+p/q是否总有意义。
(2) 问p+q是否可以是整数，
若可以，当p+q为整数时，求：
(p+pq)/q + (q+pq)/p =?
若p+q不可以为整数，说明理由。
一、关于（1）的解题思路：
p≠0
否则x2 + 2px –q = 0 和x2 –qx +p = 0变为
x2 –q = 0 和x2 –qx = 0
这两个方程都有实数解，与已知条件矛盾。
同理：q≠0
∴ q/p+p/q总是有意义
二、关于（2）的解题思路：
1、由于x2 + 2px –q = 0 (1)
和 x2 –2qx +p = 0 (2)
都没有实数根，
所以，(1) –(2)所得的方程也没有实数根。
即 (x2 + 2px –q) –(x2 –2qx +p)=0 没有实数根。
亦： (2p+2q)x –q –p=0 没有实数根
2(p+q)x –(q+p)=0 没有实数根
(p+q)(2x–1)=0 没有实数根
2x–1 ≠ 0
∴ p+q=0
∴ p+q可以是整数0
2、当p+q为整数0时，q=– p
此时：
(p+pq)/q + (q+pq)/p
=(p–pp)/( –p) + (–p–pp)/p
=p–1+(–1–p)
=2
评论